Ya que hablamos acerca de las probabilidades de que se termine el mundo, aca va un problema de ingenio. Luego viene la moraleja.
Tu jefe esta muy contento contigo, de modo que te ofrece un premio. Te da a elegir entre dos sobres. Dentro de cada sobre hay un cheque. El valor de uno de los cheques es exactamente el doble del otro. El jefe no sabe que hay en cada sobre. Tras hacer «Sesta ballesta Martín de la cuesta», optás por uno de los sobres, digamos que es el sobre amarillo. Lo abrís, y para gran alegría, encontrás un cheque de U$S 1000.
Tras celebrar un rato, tu jefe te dice: «Sabés una cosa, si querés podés cambiarlo por el otro, pero eso sí, no hay vuelta atrás. Si lo cambias, lo cambiás para siempre. Es tu elección».
Vos hacés los números: Cual es la probabilidad de que yo haya elegido el cheque más grande? La respuesta es clara: 50% – está demostrado que no hay fuente aleatoria mejor distribuida que «sesta ballesta». Ahora, si cambio, puedo encontrarme con un cheque de U$S 2000 (y por ende ganar U$S 1000), o puedo encontrarme con un cheque de U$S 500, y por ende perder U$S 500. O sea, tengo un 50% de chance de ganar 1000, y un 50% de chance de perder 500.
«Cambio!» gritás apresurado mientras agradecés internamente a aquel maldito profe de probabilidades que tanto te supo torturar.
«Muy bien», dice tu jefe, un poco perplejo. «Pero hay algo que no entiendo. Elegiste un sobre, miraste el cheque, y luego cambiaste. Si el cheque hubiera sido de U$S 2000, que hubieras hecho?» Sin titubear, le respondés: «Lo hubiera cambiado: podía ganar 2000 o perder 1000». A lo cual el jefe te pregunta si hubieras hecho lo mismo con cualquier otro monto. «Por supuesto», es tu respuesta.»Si el cheque es de x, siempre tengo un 50% de chance de ganar x, o 50% de perder 0.5 x»
«Recapitulemos», dice el jefe. «Te dí para elegir un sobre, elegiste el amarillo, y me decís que no importa lo que veas adentro, lo vas a cambiar por el azul. Entonces hagamos distinto: Elegí el azul, y listo.»
A esta altura, tu cabeza da vueltas, algo no cierra, pero el razonamiento es impecable.
Tu jefe, del que ya sospechás, te dice: «Entonces, hiciste sesta ballesta, dio el amarillo, y con toda la lógica elegiste el azul, verdad? Ahora, antes que abras el sobre azul, vas a poder aplicar la misma lógica, y cambiar por el amarillo. Y antes de abrir el amarillo, lo cambiás por el azul nuevamente. Y vuelta al amarillo. Me parece que el premio lo deberías utilizar en una consulta al psiquiatra»
Este problema parece trivial a primare vista, pero no lo es. Me anticipo a que voy a estar inundado de comentarios. En un par de días va un post con la moraleja.
Pablo Brenner & Sergio Fogel Blog 
Cuando los problemas de ingenio son muy obvios tienen trampa.
Esto es lo que haría yo…me quedo con el sobre que elegí y me voy sin perder más tiempo (y mejor que nunca me entere que tenía el otro). 😀
Creo que no está correcto el calculo de las probabilidades…
Inicialmente si nos planteamos el problema en términos de encontrar el cheque de mayor valor, cada sobre tiene uno 50% de probabilidades. Cuando el jefe nos da uno y lo abrimos y nos pregunta si queremos cambiar, la probabilidad de que el cheque mayor esté en el otro no es 50%, sinó que es el 50% inicial que tenia este sobre mas un 25% por este nuevo escenario (el 25% se calcula haciendo 50% * 50%, que es la probabilidad de que el cheque grande no estuviera en el primer sobre y si estuviera en el segundo), entonces la probabilidad de que el cheque grande esté en el otro sobre es de 75%.
Saludos
Me acuerdo que vi en la película 21 (la de blackjack que salió hace poco), en la clase de matemáticas hubo algo de este estilo… que sí subía la probabilidad, pero eran 3 opciones iniciales, y el razonamiento era muy parecido a este último.
El tema es que pasa exactamente lo mismo, solo que peor. Elegís un sobre, y sin importar su valor, en el otro sobre hay más chances de tener más plata!! es raro.
Mauro,
Encuentro dificil de creer tu teoria, ya que no necesita de saber el contenido del sobre A. Por lo tanto la probabilidad de elegir el mas alto seria igual a decir: Elijo uno mentalmente y hago como que es mio, despues simulo que mi jefe me da otra opcion y cambio. Y automaticamente la probabilidad de tener el mas alto entre 2 sobres es de 75%. Error.
Nelson, lo que decis es tipo mosqueta, donde al abrir un vaso no esta la ficha, cual es la probabilidad de cada uno (hay que separar en 2 grupos antes y algo de eso). Pero este caso es muy distinto, porque al abrir un vaso y ver que no hay nada, tenes informacion del suceso. Pero al abrir un sobre y ver 1000 no tenes nada de info del suceso.
Matematicamente:
P(A/B) = P(A interseccion B) / P(B)
Pero A intersec B es nulo. Sabiendo que el sobre tiene 1000 dolares, no tengo informacion sobre el sobre que me falta.
P(A/B) = P(A intersec B) / P(B) que como A y B son independientes = P(A).P(B) / P(B) = P(A)
Lo mas interesante del post es la sicologia de fondo atras de tener una opcion 50/50 de ganar X o perder X/2. Que tira mas? Poder ganar mucho o poder perder poco.
Teoria de juegos…
Por lo que parece, el juego se podria analizarse como si desde el principio superias que vas a tener la opcion de cambiarlo. Suponiendo eso, y que el sobre que elegis tiene valor 1 (en esto caso fue 1000), el planteo (en forma de arbol-mal dibujado) es el siguiente:
a—- 1
!
eleccion
! —- 2
b—-suerte Expected Value=1.25
—- 0.5
Se puede elegir la «rama» de arriba (a) y ganar 1, o la b: «jugar» y ganar 2 o 0.5. Si elegimos la de abajo (b), en promedio vamos a sacar 1.25 (esto es porque si «jugaramos» un numero grande de veces, deberiamos sacar la mitad de veces 2 y la mitas .5, en promedio nos daria que sacamos 1.25 por vez).
pasando en limpio:
a—- 1
!
eleccion
!
b—-1.25
Asi que, conociendo el planteo, vamos a elegir la opcion b=cambiar el sobre, y en promedio sacaremos mas (en este caso el 1.25 serian 1250)
Mas que claro… Esta deberia ser la solucion logica.
Es cierto que otras cosas influyen, como tu aversion al riesgo, la cantidad de dinero que tenes, etc. Tambien en este caso uno deberia tratar de averiguar porque tu jefe decidio hacerte la oferta de cambiar (y si lo que buscaba era hacerte perder la mitad de lo que te dio, o si pensaba darte un aumento por tu buen razonamiento?).
jk
si no lo cambias el promedio te da 1500! (1000+2000)/2=1500
Sera esta la clave?
El tema no pasa por probabilidad, sino por la naturaleza del ser humano.
La diferencia es en la posibilidad que te dan de elegir dos veces.
Si el jefe no te hubiese dicho nada, solo que elijas un sobre entonces te quedas contento con el resultado.
Pero, sabiendo lo que sabes, salga lo que salga en el primer sobre y por mas contento que estes, te queda la incognita de que es lo que habia en el otro sobre (cosa que vas a soniar por un buen tiempo…)
Al darte la segunda chance, tus sentimientos van a cambiar, salga lo que salga. Si sale el doble, vas a sentirte que sos un genio con las matematicas. Si sale la mitad, te sentis decepcionado, y te anotas a un curso de estadisticas…pero no tenes mas el sentimiento de incognita, que es una de las debilidades del hombre!
Yo no veo la contradiccion. Tal vez confunde cuando agregas el dato del color externo del sobre. Yo no elegi el «amarillo». Yo elegi uno al azar. Y cambiarlo por el «azul» antes de abrirlo no es lo mismo que «abrir el primero y luego abrir el segundo» que es la estrategia que parece mas logica en este caso.
La eleccion inicial importa poco. Hay que abrir uno, luego el otro. Y encuentre el doble o la mitad irse a casa felices de que maximizamos la probabilidad de obtener mas dinero. Si salio mal, nos queda el consuelo de haber hecho lo «logicamente correcto».
Agrego: otra manera de pensarlo que es mas clara es separar el hecho de que el primer cheque te lo dio tu jefe. Es anecdotico a efectos del problema. Si cualquier persona te ofreciera una apuesta donde lanzas una moneda (probab 50/50) y si pierdes le pagas 500 y si ganas te paga 1000 no dudarias un instante en tomarla. El hecho de que lo que estes apostando sea la plata que esa misma persona te regalo es irrelevante. Podemos reexpresar el problema como: Tu jefe te regala X y despues te ofrece la apuesta dicha mas arriba. Por supuesto que la tomarias si pensamos separado el regalo de la apuesta.
La estrategia de tomar el primer sobre tiene un valor esperado de 3/4X. La de agarrarlo y luego apostarlo sube a 15/16X.
Lo suyo es una variante del Monty Hall problem. Harto demostrado que cambiar de puerta maximiza la probabilidad de exito.
La moraleja podria ser que uno es feliz a no ser que este dejando plata arriba la mesa (cuando mas opciones u «oportunidades» mas estres por maximizar el beneficio).
Slds
Es parecido al problema de Monty Hall, pero acá son 2 sobres…
El problema de Monty Hall:
En un famoso concurso televisivo, el participante es requerido para elegir una puerta entre tres (todas cerradas) y su premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la puerta elegida. Se sabe que una de ellas oculta un coche y que tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante ha elegido una puerta y comunica su elección, Monty, el presentador, abre una de las puertas restantes y muestra que detrás de ella hay una cabra. En este momento se le da la opción al concursante de cambiar de puerta si lo desea. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta?
Pero ese analisis sería diferente, ya que solo son 2 sobres y no 3, y sabes el contenido de tu sobre, en muchos casos la gente apuesta a ganar más….
Es un analisis de riesgo a partir de que opciones y probabilidades tengo, a mayores probabilidades mayor riesgo, dependeindo de que factores me rodean…
Aunqeu hay problemas, que buscan el sentido comun que generalmente es el menos aplicado.
Ya lo han explicado muy bien arriba, se trata de un problema probabilistico o de teoría de juegos (que tiene más llegada). Nada más quería agregar que el problema se puede extender para cualquier probabilidad (no solo 0.5).
Y me acuerdo de haber leído hace bastante tiempo un post sobre un programa japones en donde un participante tenía que elegir una de tres puertas en donde había en 2 de ellas con distintos premios y en la 3ra una trampa. La cuestión era que al elegir 1 puerta, el conductor del programa le mostraba que en una de las otras dos no había trampa y le daba la opción de quedarse con la puerta elegida o cambiar a la restante. Conclusión: el participante siempre iba a tener más probabilidad de elegir una puerta buena si cuando le daban la opción cambiaba su elección.
Este es el mismo problema pero contado con otro formato.
Saludos!
Algunos comentarios:
1) 100% de acuerdo con Pablo Benitez.
2) Mauro no me convencio con su 75%
3) Esto no es el problema de Monty Hall, aunque tiene algunas cosas en comun.
4) La matematica parece dar que hay que cambiar de sobre, pero la logica dice que eso no tiene sentido.
Maniana pongo mi vision sobre la solucion correcta. Supongo que mas de uno va a estar en desacuerdo, lo cual lo hace mas interesante.
Creo que se fueron un poco por las ramas. Lo que esta claro (al menos para mi) es que cambiar o no cambiar es exactamente lo mismo y NO mejora (ni empeora) las probabilidades de llegar al mejor cheque. Lo que hay que encontrar es el error en el razonamiento que «parece» llevarnos a la conclusion de que es mejor cambiar. Y en principio no lo veo.
Mas alla del problema, lo que yo haria en esa situacion es «evaluar» si el monto parece alto o no. Ejemplo: si el cheque equivale a 10 sueldos, no lo cambio. Si por el contrario equivale a 1/4 sueldo, lo cambio.
Monty Hall? Japoneses?
Yo pensé que el Castillo de la Suerte era invento de Cacho de la Cruz.
Como si fuera un jugador de póquer: «pago por ver». Pero esto es dejando de lado si los 500 ó 1000 dólares son lo que casualmente me soluciona un problema eventual y no es un tema de ambición.
Acabo de caer en este blog buscando otras cosas y me ha picado la curiosidad, así que con toda desfachatez me aventuro a lanzar mi razonamiento, a ver si vale.
El sofisma radica en lo siguiente. Si consideramos probabilidad condicionada lo debemos hacer aplicando la condición conocida. Esto es:
Tengo un 50% de probabilidades de ganar el doble y un 50% de ganar la mitad. Correcto pero incompleto. Tengo un 50% de ganar el doble de la cantidad pequeña y un 50% de ganar la mita de la cantidad mayor. Si las cantidades son 1000 y 500 como se ha dicho, tengo un 50% de ganar el doble SOLO SI TENGO LA CANTIDAD MENOR, es decir 500, con lo que puedo ganar 500 más. Y tengo un 50% de probabilidades de ganar (o perder) la mitad SOLO SI TENGO EL CHEQUE MAYOR, es decir, la mitad de 1000, que es 500. Con lo cual el riesgo está equilibrado.
Dicho de otra manera: realmente la probabilidad de tomar el primer cheque el mayor y la de que pueda ganar el doble no son independientes. De hecho es un suceso único, que es que elija en primera instancia el menor, y me quede para cambiar el mayor,o coja primero el mayor y me quedará el menor para cambiar, con lo que siempre hay un 50% de probabilidades de que termine cogiendo el mayor, pero nunca más.
A ver qué os parece…